求下列各函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=+.(3)y=e-xsin2x.

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求下列各函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).
(2)y=

.
(3)y=e^-xsin2x.

答案

(1) y"=3x²+12x+11 (2) y"=

. (3) y" =e^-x(2cos2x-sin2x).

解析

(1)方法一:y=(x²+3x+2)(x+3)=x³+6x²+11x+6,∴y"=3x²+12x+11.
方法二:y"=[(x+1)(x+2)]"(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)"
=[(x+1)"(x+2)+(x+1)(x+2)"](x+3)+(x+1)·(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
=3x²+12x+11.
(2)∵y=

,
∴y"=(

)"=

.
(3)y"=(-e^-x)sin2x+e^-x(cos2x)×2
=e^-x(2cos2x-sin2x).

举一反三

已知曲线y=

x³+

,
(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
(2)求曲线的斜率为4的切线方程.

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已知函数f(x)=x³+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-

x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.

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已知函数f(x)=ax³+3x²-6ax-11,g(x)=3x²+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.
(1)求a的值.
(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.

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设a∈R,若函数y=e^x+ax,x∈R有大于零的极值点,则(　　)

A．a<-1	B．a>-1
C．a>-	D．a<-

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函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))处的切线为l:y=g(x)=f′(x₀)·(x-x₀)+f(x₀),F(x)="f(x)-g(x)," 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且a<x₀<b,那么(　　)

A．F"(x₀)=0,x=x₀是F(x)的极大值点

B．F"(x₀)=0,x=x₀是F(x)的极小值点

C．F"(x₀)≠0,x=x₀不是F(x)的极值点

D．F"(x₀)≠0,x=x₀是F(x)的极值点

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