已知函数f(x)＝＋ln x，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围是______．

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已知函数f(x)＝

＋ln x，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围是______．

答案

[1，＋∞)

解析

∵f(x)＝

＋ln x，∴f′(x)＝

(a>0)，∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝

≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≥

对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≥1.

举一反三

已知函数f(x)＝－aln x＋

＋x(a≠0)，
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．

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已知函数f(x)＝ax＋ln x，g(x)＝e^x.
(1)当a≤0时，求f(x)的单调区间；
(2)若不等式g(x)<

有解，求实数m的取值范围．

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已知函数f(x)＝axln x图象上点(e，f(e))处的切线与直线y＝2x平行，g(x)＝x²－tx－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[n，n＋2](n>0)上的最小值；
(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．

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已知函数f(x)＝

，x∈(1，＋∞)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)函数f(x)在区间[2，＋∞)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

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已知向量m＝(e^x，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xe^xf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)＝－x²＋2ax(a为正实数)，若对于任意x₂∈[0,1]，总存在x₁∈(0，＋∞)，使得g(x₂)<F(x₁)，求实数a的取值范围．

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