已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(3)对一切
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已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(3)对一切
题型:不详
难度:
来源:
已知
f
(
x
)=
x
ln
x
,
g
(
x
)=
x
3
+
ax
2
-
x
+2.
(1)求函数
f
(
x
)的单调区间;
(2)求
f
(
x
)在区间[
t
,
t
+2](
t
>0)上的最小值;
(3)对一切的
x
∈(0,+∞),2
f
(
x
)<
g
′(
x
)+2恒成立,求实数
a
的取值范围.
答案
(1)
f
(
x
)的递减区间是
,递增区间为
(2)
f
(
x
)
min
=
(3)[-2,+∞)
解析
(1)
f
(
x
)的定义域为(0,+∞),
f
′(
x
)=ln
x
+1,
令
f
′(
x
)<0,得0<
x
<
;
令
f
′(
x
)>0,得
x
>
.
∴
f
(
x
)的递减区间是
,递增区间为
.
(2)(ⅰ)当0<
t
<
t
+2<
时,无解.
(ⅱ)当0<
t
<
<
t
+2,即0<
t
<
,
由(1)知,
f
(
x
)
min
=
f
=-
.
(ⅲ)当
≤
t
<
t
+2,即
t
≥
时,
f
(
x
)在区间[
t
,
t
+2]上递增,
f
(
x
)
min
=
f
(
t
)=
t
ln
t
.
因此
f
(
x
)
min
=
(3)2
f
(
x
)<
g
′(
x
)+2,得2
x
ln
x
≤3
x
2
+2
ax
+1.
∵
x
>0,∴
a
≥ln
x
-
x
-
.设
h
(
x
)=ln
x
-
x
-
,
则
h
′(
x
)=
-
+
=-
.
令
h
′(
x
)=0,得
x
=1,
x
=-
(舍).
当0<
x
<1时,
h
′(
x
)>0,
h
(
x
)在(0,1)上单调递增;
当
x
>1时,
h
′(
x
)<0,
h
(
x
)在(1,+∞)上单调递减.
∴当
x
=1时,
h
(
x
)取得最大值
h
(
x
)
max
=-2.
∴
a
≥-2.
∴
a
的取值范围是[-2,+∞).
举一反三
已知函数
f
(
x
)=
+ln
x
,若函数
f
(
x
)在[1,+∞)上为增函数,则正实数
a
的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
f
(
x
)=-
a
ln
x
+
+
x
(
a
≠0),
(1)若曲线
y
=
f
(
x
)在点(1,
f
(1))处的切线与直线
x
-2
y
=0垂直,求实数
a
的值;
(2)讨论函数
f
(
x
)的单调性.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
f
(
x
)=
ax
+ln
x
,
g
(
x
)=e
x
.
(1)当
a
≤0时,求
f
(
x
)的单调区间;
(2)若不等式
g
(
x
)<
有解,求实数
m
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
f
(
x
)=
ax
ln
x
图象上点(e,
f
(e))处的切线与直线
y
=2
x
平行,
g
(
x
)=
x
2
-
tx
-2.
(1)求函数
f
(
x
)的解析式;
(2)求函数
f
(
x
)在[
n
,
n
+2](
n
>0)上的最小值;
(3)对一切
x
∈(0,e],3
f
(
x
)≥
g
(
x
)恒成立,求实数
t
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
f
(
x
)=
,
x
∈(1,+∞).
(1)求函数
f
(
x
)的单调区间;
(2)函数
f
(
x
)在区间[2,+∞)上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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