试题分析:(1)将 代入函数 的解析式,利用导数求出函数 的极大值即可;(2)先求出导数 ,并求出方程 的两根 和 ,对这两根的大小以及两根是否在区间 进行分类讨论,并借助导数正负确定函数 在区间 上的单调区间;(3)先利用函数 在 、 两点处的切线平行得到 ,通过化简得到 ,利用基本不等式转化为
在 上恒成立,于是有 ,进而求出 的取值范围. 试题解析:(1)当 时, ,定义域为 , 所以 , 令 ,解得 或 ,列表如下: 故函数 在 处取得极大值,即 ; (2) , 由于 ,解方程 ,得 , , ①当 时,则有 , 当 时, ;当 时, , 即函数 在区间 上的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; ②当 时, ,则 在区间 上恒成立, 故函数 在区间 上单调递减; ③当 时,则有 , 当 , ;当 时, , 故函数 在区间 上的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; (3)由(2)知, , 由于 ,从而有 ,化简得 , 即 ,由于 ,则有 , 令 ,故有 对任意 恒成立, 而 在 上恒成立, 故函数 在 上单调递增,则函数 在 处取得最小值,即 , 因此 ,所以 ,因此 的取值范围是 . |