解:(Ⅰ) , 由于 ,故当x∈ 时,lna>0,ax﹣1>0,所以 , 故函数 在 上单调递增。 ………………………………………4分 (Ⅱ)当a>0,a≠1时,因为 ,且 在R上单调递增, 故 有唯一解x=0。 要使函数 有三个零点,所以只需方程 有三个根, 即,只要 ,解得t=2; ………………………………9分 (Ⅲ)因为存在x1,x2∈[﹣1,1],使得 , 所以当x∈[﹣1,1]时, 。 由(Ⅱ)知, ,
。 事实上, 。 记 ( ) 因为 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018060005-21007.gif) 所以 在![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018060001-40123.gif) 上单调递增,又 。 所以 当 x>1 时, ; 当0<x<1 时, , 也就是当a>1时, ; 当0<a<1时, 。 ① 当 时,由 ,得 , 解得 。 ②当0<a<1时,由 ,得 , 解得 。 综上知,所求a的取值范围为 。 |