解:(1)f′(x)=3mx2-1, f′(1)=tan=1, ∴3m-1=1,∴m=. 从而由f(1)=-1=n,得n=-, ∴m=,n=-. (2)存在. f′(x)=2x2-1=2(x+)(x-), 令f′(x)=0得x=±. 在[-1,3]中,当x∈[-1,-]时, f′(x)>0,f(x)为增函数, 当x∈[-,]时, f′(x)<0,f(x)为减函数, 此时f(x)在x=-时取得极大值. 当x∈[,3]时, 此时f′(x)>0,f(x)为增函数, 比较f(-),f(3)知f(x)max=f(3)=15. ∴由f(x)≤k-1995,知15≤k-1995, ∴k≥2010,即存在最小的正整数k=2010, 使不等式在x∈[-1,3]上恒成立. |