已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都
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已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围. |
答案
(I)f(x)=x3-3x(II)证明略(III)实数a的取值范围是-3<m<-2 |
解析
(I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即…………………………………………2分 解得a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x.……………………………………………………4分 (II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2……………………………………6分 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4………………………………8分 (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上. 设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足 因,故切线的斜率为 , 整理得. ∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线, ∴关于x0方程=0有三个实根.……………………10分 设g(x0)= ,则g′(x0)=6, 由g′(x0)=0,得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0,x0=1………………12分 ∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是 ,解得-3<m<-2. 故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.……………………14分 |
举一反三
已知函数() (1)求f(x)的单调区间; (2)证明:lnx< |
已知函数是定义域为R的偶函数,其图像均在x轴的上方,对任意的,都有,且,又当时,其导函数恒成立。 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)解关于x的不等式:,其中 |
下列图象中,可以作为y=-x4+ax3+bx2+cx+d的图象的是 |
已知y=x3-2x+1,则y′=___________;y′|x=2=___________. |
设函数f(x)=(x-1)(x-2),则f′(1)=______. |
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