已知二次函数f(x)=ax2+bx+c经过点(0,0),导数f′(x)=2x+1,当x∈[n,n+1](n∈N*)时,f(x)是整数的个数记为an.(1)求a、

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c经过点(0,0),导数f′(x)=2x+1,当x∈[n,n+1](n∈N*)时,f(x)是整数的个数记为an.(1)求a、

题型:不详难度:来源:
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c经过点(0,0),导数f′(x)=2x+1,当x∈[n,n+1](n∈N*)时,f(x)是整数的个数记为an
(1)求a、b、c的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)令bn=
2
anan+1
,求{bn}的前n项和Sn
答案
(1)∵f(0)=c=0
∴c=0,
f′(x)=2ax+b=2x+1
∴a=1,b=1
(2)依题意可知an=(n+1)(n+2)-n(n+1)+1=2(n+1)+1,an+1=(n+2)(n+3)-(n+1)(n+2)+1=2(n+2)+1,
∴a(n+1)-an=2,a1=5
∴数列{an}是以5为首项,2为公差的等差数列,
∴an=5+(n-1)×2=2n+3
(3)bn=
2
anan+1
=
1
2n+3
-
1
2n+5
,{bn}的前n项和 Sn=
1
5
-
1
7
+
1
7
-
1
9
+…+
1
2n+3
--
1
2n+5
=
1
5
--
1
2n+5
=
2n
5(2n+5)
举一反三
已知函数f(x)=
4ex
ex+1
(e为自然对数的底数)设方程f(x)=x的一个根为t,且a>t,f(a)=b.
(1)求函数f(x)的导函数f′(x);求导函数f′(x)的值域;
(2)证明:①a>b,②a+f(a)>b+f(b).
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x)在点x=x0处可导,且
f(xo+7△x)-f(xo)
△x
→1(△x→0)
,则f′(xo)=(  )
A.1B.0C.7D.
1
7
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=
sinx
x
的导数是(  )
A.
xsinx+cosx
x2
B.
xcosx+sinx
x2
C.
xsinx-cosx
x2
D.
xcosx-sinx
x2
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于零的可导函数,且满足f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,则当a<x<b时有(  )
A.f(x)g(x)>f(b)g(b)B.f(x)g(a)>f(a)g(x)C.f(x)g(b)>f(b)g(x)D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
题型:东城区一模难度:| 查看答案
下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)
①若f(x)可导且f"(x0)=0,则x0是f(x)的极值点;
②函数f(x)=xe-x,x∈[2,4]的最大值为2e-2
③已知函数f(x)=


-x2+2x
,则_1f(x)dx的值为
π
4

④一质点在直线上以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的路程为
4
3
(m)
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.