已知a>0,n为正整数, (Ⅰ)设y=(x-a)n,证明y′=n(x-a)n-1;(Ⅱ)设fn(x)=xn-(x-a)n,对任意n≥a,证明fn+1′(n+1)
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已知a>0,n为正整数, (Ⅰ)设y=(x-a)n,证明y′=n(x-a)n-1; (Ⅱ)设fn(x)=xn-(x-a)n,对任意n≥a,证明fn+1′(n+1)>(n+1)fn′(n)。 |
答案
证明:(Ⅰ)因为, 所以; (Ⅱ)对函数,求导数:, 所以, 当x≥a>0时,, ∴当x≥a时,是关于x的增函数, 因此,当n≥a时,, ∴ , 即对任意。 |
举一反三
已知的导函数为f′(x),则f′(i)(i为虚数单位)= |
[ ] |
A.-1-2i B.-2-2i C.-2+2i D.2-2i |
在平面直角坐标系中,已知点P(1,-1),过点P作抛物线T0:y=x2的切线,其切点分别为M(x1,y1),N(x2,y2)(其中x1<x2)。 (1)求x1与x2的值; (2)若以点P为圆心的圆E与直线MN相切,求圆E的方程; (3)过原点O(0,0)作圆E的两条互相垂直的弦AC,BD,求四边形ABCD面积的最大值。 |
已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1"(x),f3(x)= f2"(x),…,,n∈N*,则f2011(x)= |
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A.sinx+cosx B.sinx-cosx C.-sinx+cosx D.-sinx-cosx |
已知函数f(x)满足(其中为f(x)在点处的导数,C为常数)。 (1)求的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=[f(x)-x3]·ex,若函数g(x)在[-3,2]上单调,求实数C的取值范围。 |
已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(1)= |
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A.-1 B.-2 C.1 D.2 |
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