已知为实常数,函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个不同的零点;(Ⅰ)求实数的取值范围;(Ⅱ)求证:且.(注:为自然对数的底数)
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已知为实常数,函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个不同的零点;(Ⅰ)求实数的取值范围;(Ⅱ)求证:且.(注:为自然对数的底数)
题型:不详
难度:
来源:
已知
为实常数,函数
.
(1)讨论函数
的单调性;
(2)若函数
有两个不同的零点
;
(Ⅰ)求实数
的取值范围;
(Ⅱ)求证:
且
.(注:
为自然对数的底数)
答案
(1)详见解析;(2)
,证明详见解析.
解析
试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,先对函数求导,由于函数有定义域,所以
恒大于0,所以对
进行讨论,当
时,导数恒正,所以函数在
上是增函数,当
时,
的根为
,所以将定义域从
断开,变成2部分,分别判断函数的单调性;第二问,(1)通过第一问的分析,只有当
时,才有可能有2个零点,需要讨论函数图像的最大值的正负,当最大值小于等于0时,最多有一个零点,当最大值大于0时,还需要判断在最大值点两侧是否有纵坐标小于0的点,如果有就符合题意,(2)由(1)可知函数的单调性,只需判断出
和
的正负即可,经过分析,因为
,所以
.只要证明:
就可以得出结论,所以下面经过构造函数证明,只需求出函数的最值即可.
试题解析:(I)
的定义域为
.其导数
. 1分
①当
时,
,函数在
上是增函数; 2分
②当
时,在区间
上,
;在区间
上,
.
所以
在
是增函数,在
是减函数. 4分
(II)①由(I)知,当
时,函数
在
上是增函数,不可能有两个零点
当
时,
在
是增函数,在
是减函数,此时
为函数
的最大值,
当
时,
最多有一个零点,所以
,解得
, 6分
此时,
,且
,
令
,则
,所以
在
上单调递增,
所以
,即
所以
的取值范围是
8分
②证法一:
.设
.
.
当
时,
;当
时,
;
所以
在
上是增函数,在
上是减函数.
最大值为
.
由于
,且
,所以
,所以
.
下面证明:当
时,
.设
,
则
.
在
上是增函数,所以当
时,
.即当
时,
..
由
得
.所以
.
所以
,即
,
,
.
又
,所以
,
.
所以
.
即
.
由
,得
.所以
,
. 12分
②证法二:
由(II)①可知函数
在
是增函数,在
是减函数.
所以
.故
第二部分:分析:因为
,所以
.只要证明:
就可以得出结论
下面给出证明:构造函数:
则:
所以函数
在区间
上为减函数.
,则
,又
于是
. 又
由(1)可知
.即
12分
举一反三
已知函数
.
(1)当
时,求函数
的单调区间;
(2)若
时,函数
在闭区间
上的最大值为
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
,函数
在区间
单调递减,则
的最大值为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
.
(1)证明:
;
(2)当
时,
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
定义在R上的函数f(x)及其导函数f"(x)的图像都是连续不断的曲线,且对于实数a, b (a<b)有f"(a)>0,f"(b)<0,现给出如下结论:
①$x
0
∈[a,b],f(x
0
)=0;②$x
0
∈[a,b],f(x
0
)>f(b);
③"x
0
∈[a,b],f(x
0
)>f(a);④$x
0
∈[a,b],f(a)-f(b)>f" x
0
)(a-b).
其中结论正确的有
。
题型:不详
难度:
|
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没函数
在(0,+
)内有定义,对于给定的正数K,定义函数
,取函数
,恒有
,则
A.K的最大值为
B.K的最小值为
C.K的最大值为2
D.K的最小值为2
题型:不详
难度:
|
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