已知函数．（I）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，试解答下列两小题．（i）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（ii）若是两个不相等的正数，且以，求证：．

题型：不详难度：来源：

已知函数．
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，试解答下列两小题．
（i）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（ii）若是两个不相等的正数，且以，求证：．

答案

（I）①当时，递增区间是；②当时，递增区间是，递减区间为；（Ⅱ）（i）实数的取值范围为；（ii）详见试题解析．

解析

试题分析：（I）首先求函数的定义域，再求的导数，令下面分和讨论求函数的单调区间；（Ⅱ）（i）先由已知条件，将问题转化为设求函数的导数：，由此讨论可得在上为减函数，从而求得实数的取值范围；（ii）先根据已知条件把化简为，只要证设，构造函数利用导数可得在上单调递减，在上单调递增，最终证得．
试题解析：（I）解：函数的定义域为令
①当时，在上恒成立，∴递增区间是；
②当时，由可得，∴递增区间是，递减区间为．                                    （6分）
（Ⅱ）（i）解：设则．
∵在上恒成立，∴在上为减函数，∴实数的取值范围为．                              （10分）
（ii）证明：
．设，则．
令，得，在上单调递减，在上单调递增
．               （15分）