试题分析:(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因为△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=. 结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,∴离心率e==. 在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=b=b2. 由题设条件S△AB1B2=4,得b2=4,从而a2=5b2=20. 因此所求椭圆的标准方程为+=1. (2)由(1),知B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m2+5)y2-4my-16=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-. 又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), ∴·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-. 由PB2⊥QB1,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2. ∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0. 点评:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法. |