(14分)设函数.(1)当时,求的极值;(2)当时,求的单调区间;(3)若对任意及,恒有成立,求的取值范围

(14分)设函数.(1)当时,求的极值;(2)当时,求的单调区间;(3)若对任意及,恒有成立,求的取值范围

题型:不详难度:来源:
(14分)设函数.
(1)当时,求的极值;
(2)当时,求的单调区间;
(3)若对任意,恒有成立,求的取值范围
答案
(Ⅰ)的极小值为,无极大值 .
(Ⅱ)当时,的递减区间为;递增区间为.
时,单调递减.
时,的递减区间为;递增区间为.
(Ⅲ) .
解析

试题分析:(1)将a=0代入函数解析式中可知,函数的导数,然后运用导数的符号与单调性的关系求解单调区间,并得到极值。
(2)当a>0时,利用导函数,对于参数a,进而分类讨论研究其单调性,看开口和判别式得到。
(3)要证明不等式恒成立,只要利用第二问的结论根据最大值和最小值得到求解。
解:(Ⅰ)依题意,知的定义域为.
时, ,.
,解得.
时,;当时, .

所以的极小值为,无极大值 . …………………………(4分)
(Ⅱ)

时,
,得
,得
时,得
,得
,得
时,.
综上所述,当时,的递减区间为;递增区间为.
时,单调递减.
时,的递减区间为;递增区间为.
…………………………………(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当时,单调递减.
时,取最大值;当时,取最小值.
所以
.………………(11分)
因为恒成立,
所以
整理得.
 所以
又因为 ,得
所以
所以 . ……………………………………………………………(14分)
点评:解决该试题的关键是对于含有参数的导数的符号的确定,需要分类讨论思想来得到。
举一反三
(14分) 已知函数
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,判断方程实根个数.
(3)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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(本题满分12分)设函数..
(Ⅰ)时,求的单调区间;
(Ⅱ)当时,设的最小值为,若恒成立,求实数t的取值范围.
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(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值.
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(本小题满分12分)已知函数,其中.
(I)求函数的导函数的最小值;
(II)当时,求函数的单调区间及极值;
(III)若对任意的,函数满足,求实数的取值范围.
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(本小题满分12分)
已知,其中是自然对数的底数,
(1)讨论时,的单调性。
(2)求证:在(1)条件下,
(3)是否存在实数,使得最小值是3,如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由。
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