本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。根据函数在给定区间的单调性,求解参数的取值范围,以及能利用导数的符号与单调性的关系,求解函数的单调区间,并能求解给定函数在区间的最值问题的综合运用。 (1)首先要是函数在给定区间单调递增,则说明导函数恒大于等于零。分离参数求解参数的取值范围。如果不单调,则说明导函数在给定区间内有不重复的零点即可。 (2)利用给定的函数分析a的范围,分别讨论得到单调区间。 (3)要研究不等式在给定区间恒成立问题,可以构造函数研究函数的最值即可来得到。 (1)法一:由题意知,在区间内有不重复的零点. 故只需满足:,即∴ 法二:由题意知,在区间内有不重复的零点. 由 ,得 ,∵ , ∴ . 令,则,故在区间上是增函数,其值域为,从而的取值范围为. ………… 4分 (2)当时,不存在增区间;当时,增区间为; 当时,增区间为;当时,增区间为. 8分 (3),据题意知,在区间上恒成立,即 ① 当时,不等式①恒成立; 当时,不等式①可化为 ② 令,由于二次函数的图象是开口向下的抛物线,故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得,又, ∴ 不等式②恒成立的充要条件是, ………… 10分 即,亦即 , ∵ 这个关于的不等式在区间上有解 ∴ ,即 ,, 解得 ,又, 故,从而的最大值为,此时唯有符合题意 |