(本题满分10 分)已知函数f(x)=x3-ax2+3x.(1) 若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值和最小值. (2) 若f(x)
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(本题满分10 分)已知函数f(x)=x3-ax2+3x.(1) 若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值和最小值. (2) 若f(x)
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分10 分)已知函数f(x)=x
3
-ax
2
+3x.
(1) 若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值和最小值.
(2) 若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
答案
(1)最小值是f(3)=-9,最大值是f(5)=15;(2)a≤3.
解析
第一问中(1) f′(3)=0,即27-6a+3=0,∴a=5,f(x)=x
3
-5x
2
+3x,f′(x)=3x
2
-10x+3.令f′(x)=0,得x
1
=3,x
2
=
(舍去).当1<x<3时,f′(x)<0,当3<x<5时,f′(x)>0,即当x=3时,f(x)的极小值f(3)=-9.又f(1)=-1,f(5)=15,∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)=-9,最大值是f(5)=15.
(2)中 据已知:
上恒成立,又f′(x)=3x
2
-2ax+3,且x≥1,
则a
,∵
∴a≤3
解:(1) f′(3)=0,即27-6a+3=0,∴a=5,f(x)=x
3
-5x
2
+3x,f′(x)=3x
2
-10x+3.令f′(x)=0,得x
1
=3,x
2
=
(舍去).当1<x<3时,f′(x)<0,当3<x<5时,f′(x)>0,即当x=3时,f(x)的极小值f(3)=-9.又f(1)=-1,f(5)=15,∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)=-9,最大值是f(5)=15.
6分
(2) 据已知:
上恒成立,又f′(x)=3x
2
-2ax+3,且x≥1,
则a
,∵
∴a≤3.
举一反三
(本题满分10分)已知函数
.
(I)讨论
的单调性;
(II)设
,证明:当
时,
;
(III)若函数
的图像与
x
轴交于
A
,
B
两点,线段
AB
中点的横坐标为
x
0
,
证明:
(
x
0
)<0.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)
已知函数
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若
,试求函数在此区间上的最大值与最小值.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)
已知函数
,
(1)若
是
的极值点,求
值;
(2)若函数
在
上是增函数,求实数
的取值范围;
题型:不详
难度:
|
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定义域为R的函数
对任意x都有
,且其导函数
,则当
,有 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若
满足
且
,则方程
解的个数
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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