已知f(x)=x2+ax-1nx,a∈R(1)若a=0时,求函数y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;(2)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数
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已知f(x)=x2+ax-1nx,a∈R (1)若a=0时,求函数y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程; (2)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围. |
答案
(1)a=0时,f′(x)=2x-=(2x2-1),∴f′(1)=1 ∴f(1)=1, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-x=0,即x-y=0 (2)f′(x)=2x+a-=(2x2+ax-1),记g(x)=2x2+ax-1, ∵函数f(x)在区间[1,2]上单调递减 ∴2x2+ax-1≤0在区间[1,2]上恒成立 ∴,∴, ∴a≤-. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-3x2+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求a的值和函数f(x)的单调区间. (Ⅱ)若方程f(x)=x2-15x+3恰有三个不同的解,求b的取值范围. |
设函数f(x)=sinx-xcosx,x∈R. (I)当x>0时,求函数f(x)的单调区间; (II)当x∈[0,2013π]时,求所有极值的和. |
已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常数a>0. (1)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)当a=4时,是否存在实数m,使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f(x)的切线?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由; (3)设定义在D上的函数y=h(x)的图象在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),当x≠x0时,若>0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4,试问y=f(x)是否存在“类对称点”?若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由. |
已知f(x)=(x∈R) (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若f(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数a的取值范围A; (3)在(2)的条件下,设关于x的方程f(x)=的两个根为x1、x2,若对任意a∈A,t∈[-1,1],不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求m的取值范围. |
设函数f(x)=x- (1)令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x),判断并证明N(x)在(-1,+∞)上的单调性,并求N(0); (2)求f(x)在定义域上的最小值; (3)是否存在实数m,n满足0≤m<n,使得f(x)在区间[m,n]上的值域也为[m,n]? (参考公式:[ln(1+x)′]=) |
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