设函数f(x)=sinx-xcosx,x∈R.(I)当x>0时,求函数f(x)的单调区间;(II)当x∈[0,2013π]时,求所有极值的和.
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设函数f(x)=sinx-xcosx,x∈R. (I)当x>0时,求函数f(x)的单调区间; (II)当x∈[0,2013π]时,求所有极值的和. |
答案
(I)∵f(x)=sinx-xcosx,x>0, ∴f′(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx, 当f′(x)>0时,sinx>0, ∴2kπ<x<2kπ+π,k∈N, ∴函数f(x)的增区间为(2kπ,2kπ+π),k∈N. 当f′(x)<0时,sinx<0, ∴2kπ+π<x<2kπ+2π,k∈N, ∴函数f(x)的减区间为(2kπ+π,2kπ+2π),k∈N. (II)当x=π,3π,…,2kπ+π,…时,函数f(x)取极大值, 当x=2π,4π,…,2kπ+2π,…时,函数f(x)取极小值, ∴当x∈[0,2013π]时,所有极值的和为: f(π)+f(2π)+f(3π)+f(4π)+…+f(2013π) =π-2π+3π-4π+…-2012π+2013π =1007π. |
举一反三
已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常数a>0. (1)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)当a=4时,是否存在实数m,使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f(x)的切线?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由; (3)设定义在D上的函数y=h(x)的图象在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),当x≠x0时,若>0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4,试问y=f(x)是否存在“类对称点”?若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由. |
已知f(x)=(x∈R) (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若f(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数a的取值范围A; (3)在(2)的条件下,设关于x的方程f(x)=的两个根为x1、x2,若对任意a∈A,t∈[-1,1],不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求m的取值范围. |
设函数f(x)=x- (1)令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x),判断并证明N(x)在(-1,+∞)上的单调性,并求N(0); (2)求f(x)在定义域上的最小值; (3)是否存在实数m,n满足0≤m<n,使得f(x)在区间[m,n]上的值域也为[m,n]? (参考公式:[ln(1+x)′]=) |
已知函数f(x)=a(x-)-lnx. (Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数g(x)=,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=ex-ax-1,(a∈R). (1)当a=2时,求f(x)的单调区间与最值; (2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围. |
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