设函数f(x)=lnx-p(x-1),p∈R.(1)当p=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=xf(x)+P(2x2-x-1),对任意x≥1都

设函数f(x)=lnx-p(x-1),p∈R.(1)当p=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=xf(x)+P(2x2-x-1),对任意x≥1都

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=lnx-p(x-1),p∈R.
(1)当p=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=xf(x)+P(2x2-x-1),对任意x≥1都有g(x)≤0成立,求P的取值范围.
答案
(1)当p=1时,f(x)=ln x-(x-1),f′(x)=
1
x
-1,
令f′(x)>0,∴x∈(0,1),
故函数f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞);
令f′(x)<0,得x∈(1,+∞),故函数f(x)的单调减区间为(1,+∞);
(2)由题意函数g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)=xlnx+p(x2-1),
则xlnx+p(x2-1)≤0,
设g(x)=xlnx+p(x2-1),由于g(1)=0,
故只须g(x)=xlnx+p(x2-1)在x≥1时是减函数即可,
又因为g′(x)=lnx+2px+1,故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立,
即p≤-
lnx+1
2x
在x≥1时恒成立,
由于(-
lnx+1
2x
)′=
lnx
2x
=0
时,x=1,得 当x=1时,-
lnx+1
2x
取最小值-
1
2

∴p≤-
1
2
举一反三
已知函数f(x)=a(x-
1
x
)-21nx(a∈R).
(Ⅰ)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是2x-y+b=0,求a,b的值
(Ⅱ)若a=
1
2
,讨论函数f(x)的单调性,并求极值.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=alnx+(x-1)2,(a∈R).
(1)若a=-4,求f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)在[
1
2
,2]上存在单调递减区间,试求实数a的取值范围;
(3)求函数f(x)的极值点.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)的导数f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b.a,b为实数,1<a<2.
(Ⅰ)若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(Ⅲ)设函数F(x)=(f′(x)+6x+1)•e2x,试判断函数F(x)的极值点个数.
题型:不详难度:| 查看答案
定义在(0,
π
2
)上的函数f(x),其导函数是f′(x),且恒有f(x)<f′(x)•tanx成立,则(  )
A.f(
π
6
)>


3
f(
π
3
B.f(
π
6


3
f(
π
3
C.


3
f(
π
6
)>f(
π
3
D.


3
f(
π
6
)<f(
π
3
题型:济宁二模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2+alnx
(Ⅰ)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若g(x)=f(x)+
2
x
在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
题型:平遥县模拟难度:| 查看答案
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