已知函数f(x)=lnx-ax,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)在定义域上的单调递增区间;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32,求出a的值.

已知函数f(x)=lnx-ax,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)在定义域上的单调递增区间;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32,求出a的值.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=lnx-
a
x
,a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)在定义域上的单调递增区间;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3
2
,求出a的值.
答案
(1)当a=1时,f(x)=lnx-
1
x
,其定义域为(0,+∞)
f′(x)=
1
x
+
1
x2
=
x+1
x2

令f"(x)>0,得x>-1,又x∈(0,+∞),
所以f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
(2)f′(x)=
1
x
+
a
x2
=
x+a
x2
,x∈(0,+∞)
①当a≥-1时,f"(x)≥0恒成立,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=-a,
-a=
3
2
,得a=-
3
2
(舍去);
②当a≤-e时,f"(x)≤0恒成立,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=1-
a
e

1-
a
e
=
3
2
,得a=-
e
2
(舍去);
③当-e<a<-1时,令f"(x)=0,得x0=-a.
当1<x<-a时,f"(x)<0,
∴f(x)在(1,-a)上为减函数;
当-a<x<e时,f"(x)>0
∴f(x)在(-a,e)上为增函数.
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1,
ln(-a)+1=
3
2
,得a=-


e

综上所述,a=-


e
举一反三
设f(x)=
1
3
x3+x2-3x+5
(1)求函数f(x)的单调递增区间、递减区间;
(2)当x∈[-1,2]时,求函数的最值.
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设函数f(x)=(x2+3x+m)•e-x(其中m∈R,e是自然对数的底数)
(I)若m=3,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(II)若函数f(x)在(-∞,0)上有两个极值点.
①求实数m的范围;     
②证明f(x)的极小值大于e.
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已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2+2)<f(3x),则实数X的取值范围是______.
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在区间(-2,1)内,函数f(x)=-x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值,在x=
2
3
处取得极大值.
(Ⅰ) 求a,b的值;
(Ⅱ)讨论f(x)在(-∞,+∞)上的单调性.
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已知定义在(1,+∞)上的函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+1

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ) 当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程.
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