(1)a=3时,f′(x)=-2x+3-=-=-, 函数f(x)在区间(,2)仅有极大值点x=1,故这个极大值点也是最大值点, 故函数在[,2]最大值是f(1)=2, 又f(2)-f()=(2-ln2)-(+ln2)=-2ln2<0,故f(2)<f(), 故函数在[,2]上的最小值为f(2)=2-ln2. (2)f′(x)=-2x+a-,令g(x)=2x+,则g′(x)=2-, 则函数在(,)递减,在(,2)递增,由g()=3,g(2)=,g()=2, 故函数g(x)在(,2)的值域为[2,). 若f"(x)≤0在(,2)恒成立,即a≤2x+在(,2)恒成立,只要a≤2, 若要f"(x)≥0在在(,2)恒成立,即a≥2x+在(,2)恒成立, 只要a≥.即a的取值范围是(-∞,2]∪[,+∞). (3)若f(x)既有极大值又有极小值,则首先必须f"(x)=0有两个不同正根x1,x2,即2x2-ax+1=0有两个不同正根. 故a应满足⇒⇒a>2, ∴当a>2时,f"(x)=0有两个不等的正根,不妨设x1<x2, 由f"(x)=-(2x2-ax+1)=-(x-x1)(x-x2)知: 0<x<x1时f"(x)<0;x1<x<x2时f"(x)>0;x>x2时f"(x)<0, ∴当a>2时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1). 反之,当a>2时,2x2-ax+1=0有两个不相等的正根, 故函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件a>2. |