已知函数f（x）=alnx+x2，（a为常数）（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）若存在x∈[1，e]，使f（x）≤（a+2）x，求
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已知函数f（x）=alnx+x2，（a为常数）
（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）若存在x∈[1，e]，使f（x）≤（a+2）x，求a的取值范围． |
答案
（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x2f′(x)=-+2x=，∵当x＞1时，x2-1＞0，∴f"（x）＞0
故f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）令g（x）=f（x）-（a+2）x，
若存在x∈[1，e]使f（x）≤（a+2）x等价于：当x∈[1，e]时，g（x）min≤0g′(x)=+2x-(a+2)==，x∈[1，e]
由g"（x）=0解得x1=1，x2=
（i）当≤1时，g"（x）＞0，g（x）在[1，e]上单调增，g（x）min=g（1）=1-（a+2）≤0，∴-1≤a≤2
（ii）当1＜＜e时，
| x | (1，) | | (，e) | | f"（x） | - | 0 | + | | f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ |
举一反三
| 函数f(x)=-+2x+b在区间[-1，2]上不单调，则a的取值范围为______． | 如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=-2x3+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D．
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值． | 定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f"（x）为f（x）的导函数，已知y=f"（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a+b)＜1，则的取值范围是（ ）| A．(，) | B．(-∞，)∪(5，+∞) | C．(，5) | D．（-∞，3） |
 | | 函数f（x）=xlnx的单调递增区间是______． | 已知函数f（x）=x3+ax2-2x+5在(-，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且函数f（x）的导数记为f"（x），则下列结论正确的是______．（填序号）
①-是方程f"（x）=0的根；②1是方程f"（x）=0的根；③有极小值f（1）；④有极大值f(-)； ⑤a=-． |
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