已知函数f(x)=alnx+x2,(a为常数)(1)若a=-2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数;(2)若存在x∈[1,e],使f(x)≤(a+2)x,求

已知函数f(x)=alnx+x2,(a为常数)(1)若a=-2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数;(2)若存在x∈[1,e],使f(x)≤(a+2)x,求

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已知函数f(x)=alnx+x2,(a为常数)
(1)若a=-2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)若存在x∈[1,e],使f(x)≤(a+2)x,求a的取值范围.
答案
(1)a=-2,f(x)=-2lnx+x2f′(x)=-
2
x
+2x=
2(x2-1)
x
,∵当x>1时,x2-1>0,∴f"(x)>0
故f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(2)令g(x)=f(x)-(a+2)x,
若存在x∈[1,e]使f(x)≤(a+2)x等价于:当x∈[1,e]时,g(x)min≤0g′(x)=
a
x
+2x-(a+2)=
2x2-(a+2)x+a
x
=
(x-1)(2x-a)
x
,x∈[1,e]
由g"(x)=0解得x1=1,x2=
a
2

(i)当
a
2
≤1
时,g"(x)>0,g(x)在[1,e]上单调增,g(x)min=g(1)=1-(a+2)≤0,∴-1≤a≤2
(ii)当1<
a
2
<e
时,
举一反三
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x(1,
a
2
)
a
2
(
a
2
,e)
f"(x)-0+
f(x)极小值
函数f(x)=
x3
3
-
ax2
2
+2x+b
在区间[-1,2]上不单调,则a的取值范围为______.
如图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于O,A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B,D.
(Ⅰ)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);
(Ⅱ)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.魔方格
定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f"(x)为f(x)的导函数,已知y=f"(x)的图象如图所示,若两个正数a,b满足f(2a+b)<1,则
b+1
a+1
的取值范围是(  )
A.(
1
5
1
3
)
B.(-∞,
1
3
)∪(5,+∞)
C.(
1
3
,5)
D.(-∞,3)
魔方格
函数f(x)=xlnx的单调递增区间是______.
已知函数f(x)=x3+ax2-2x+5在(-
2
3
,1)
上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且函数f(x)的导数记为f"(x),则下列结论正确的是______.(填序号)
-
2
3
是方程f"(x)=0的根;②1是方程f"(x)=0的根;③有极小值f(1);④有极大值f(-
2
3
)
; ⑤a=-
1
2