设函数f（x）=4lnx-（x-1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x2-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根

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设函数f（x）=4lnx-（x-1）²．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x²-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

答案

（I）∵函数f（x）=4lnx-（x-1）²．
∴f′（x）=

-2x+2=

-2x2+2x+4

-2(x-2)(x+1)

（x＞0）．
令f′（x）＞0，解得x∈（0，2）
故函数f（x）的单调递增区间为（0，2）
（II）关于x的方程f（x）+x²-4x-a=0
可化为4lnx-（x-1）²+x²-4x-a=4lnx-2x-1-a=0
令g（x）=4lnx-2x-1-a
则g′（x）=

-2
令g′（x）=0，则x=2，
则当0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数
故当方程f（x）+x²-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根时

g(1)=-3-a≤0

g(2)=4ln2-5-a＞0

g(e)=3-2e-a≤0

解得3-2e≤a＜4ln2-5
故实数a的取值范围为[3-2e，4ln2-5）

举一反三

定义在R⁺上的函数f（x），g（x）满足函数f（x）=x²-alnx在[1，2]上为增函数，g（x）=x-a

在（0，1）为减函数．
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）当b＞-1时，若f（x）≥2bx-

在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．

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已知函数f（x）=x3-

ax2+b（a，b为实数，且a＞1）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．

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函数y=xlnx在（0，5）上是（　　）

A．单调增函数

B．在（0，

）上单调递增，在（

，5）上单调递减

C．单调减函数

D．在（0，

）上单调递减，在（

，5）上单调递增．

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已知函数g（x）=ax-2lnx
（I）若a＞0，求函数g（x）的最小值
（Ⅱ）若函数f（x）=g（x）-

在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围．

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已知函数f（x）=

x³+

ax²+bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得f′（x）=x的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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