设函数f(x)=4lnx-(x-1)2.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+x2-4x-a=0在区间[1,e]内恰有两个相异的实根
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设函数f(x)=4lnx-(x-1)2. (Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若关于x的方程f(x)+x2-4x-a=0在区间[1,e]内恰有两个相异的实根,求实数a的取值范围. |
答案
(I)∵函数f(x)=4lnx-(x-1)2. ∴f′(x)=-2x+2==(x>0). 令f′(x)>0,解得x∈(0,2) 故函数f(x)的单调递增区间为(0,2) (II)关于x的方程f(x)+x2-4x-a=0 可化为4lnx-(x-1)2+x2-4x-a=4lnx-2x-1-a=0 令g(x)=4lnx-2x-1-a 则g′(x)=-2 令g′(x)=0,则x=2, 则当0<x<2时,g′(x)>0,g(x)为增函数 当x>2时,g′(x)<0,g(x)为减函数 故当方程f(x)+x2-4x-a=0在区间[1,e]内恰有两个相异的实根时 | g(1)=-3-a≤0 | g(2)=4ln2-5-a>0 | g(e)=3-2e-a≤0 |
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解得3-2e≤a<4ln2-5 故实数a的取值范围为[3-2e,4ln2-5) |
举一反三
定义在R+上的函数f(x),g(x)满足函数f(x)=x2-alnx在[1,2]上为增函数,g(x)=x-a在(0,1)为减函数. (Ⅰ)求f(x),g(x)的解析式; (Ⅱ)当b>-1时,若f(x)≥2bx-在x∈(0,1]内恒成立,求b的取值范围. |
已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b为实数,且a>1)在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-2. (1)求f(x)的解析式; (2)若函数g(x)=f(x)-mx在区间[-2,2]上为减函数,求实数m的取值范围. |
函数y=xlnx在(0,5)上是( )A.单调增函数 | B.在(0,)上单调递增,在(,5)上单调递减 | C.单调减函数 | D.在(0,)上单调递减,在(,5)上单调递增. |
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已知函数g(x)=ax-2lnx (I)若a>0,求函数g(x)的最小值 (Ⅱ)若函数f(x)=g(x)-在其定义域内为单调函数,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(x∈R,a,b为实数)有极值,且x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行. (1)求实数a的取值范围. (2)是否存在实数a,使得f′(x)=x的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1,若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由. |
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