已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数。（Ⅰ）当a=-3时证明y=f（x）在区间（-1，1）上不是单调函数

题型：海南省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数。
（Ⅰ）当a=-3时证明y=f（x）在区间（-1，1）上不是单调函数；
（Ⅱ）设，是否存在实数a，对于任意的x₁∈[-1，1]存在x₂∈[0，2]，使得f′（x1）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由。

答案

解：（Ⅰ）时，， 
，其对标轴为，  
当时，f′（x）是单调增函数，
又，，
在（-1，1）上，
在（-1，0）上f′（x）＜0，f（x）为减函数； 
在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
由上得出在（-1，1）上f（x）不是单调函数。
（Ⅱ）在[0，2]上是增函数，
故对于，，
设，，
 ，
由得，
要使对于任意的，存在使得成立，
只须在[-1，1]上，
在（-1，）上，
在（，1）上，    
∴时  有极小值，
，，
在[-1，1]上只有一个极小值，
的最小值为，
，解得。