设函数f（x）=x3-ax2-3a2x+1（a＞0）。（I）求f（x）的导数f′（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值；（Ⅲ）若x∈[a+1，a+

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设函数f（x）=

x³-ax²-3a²x+1（a＞0）。
（I）求f（x）的导数f′（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅲ）若x∈[a+1，a+2]时，恒有f′（x）＞-3a，求实数a的取值范围。

答案

解：（I）；
（II）可知：当时，函数f（x）为增函数，
当时，函数f（x）也为增函数，
当时，函数f（x）为减函数，
当x=-a时，f（x）的极大值为；
当x=3a时，f（x）的极小值为-9a³+1；
（III）a的取值范围是（0，1）。

举一反三

函数f（x）的图象经过原点，且它的导函数y=f′（x）是如图所示的一条直线，则函数y=f（x）的图象的顶点在

[ ]

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

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已知函数f（x）=ax³+x²+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数。
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）讨论g（x）的单调性，并求g（x）的极大值与极小值。

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已知函数f（x）=（x-k）e^x。
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（III）设g（x）=f（x）+f′（x），当

时，对任意x∈[0，1]，都有g（x）≥

成立，求实数

的取值范围。

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函数y=f（x）在定义域（-

，3）内的图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为

[ ]

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已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）。（e是自然对数的底数）
（1）判断f（x）在[0，+∞）上是否是单调函数，并写出f（x）在该区间上的最小值；
（2）证明：

（n∈N*）。

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