已知函数f(x)=x3-x(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a
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已知函数f(x)=x3-x (1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程 (2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a<b<f(a) |
答案
(1)求函数f(x)的导函数;f"(x)=3x2-1. 曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为:y-f(t)=f"(t)(x-t),即y=(3t2-1)x-2t3; (2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=(3t2-1)a-2t3. 于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根. 记g(t)=2t3-3at2+a+b,则g"(t)=6t2-6at=6t(t-a). 当t变化时,g(t),g"(t)变化情况如下表:
由g(t)的单调性,当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0时,方程g(t)=0最多有一个实数根; 当a+b=0时,解方程g(t)=0得t=0,t=,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根; 当b-f(a)=0时,解方程g(t)=0得t=-,t=a,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根. 综上,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(t)=0有三个相异的实数根,则 即-a<b<f(a). |
举一反三
函数y=f(x)的导数y=f′(x)的图象如图所示,下列说法正确的是( )A.函数f(x)在x=x1处取得极小值 | B.函数f(x)在x=x2处取得极小值 | C.函数f(x)在x=x3处取得极小值 | D.函数f(x)在x=x3处取得极大值 |
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已知曲线C:y=-4x+ (I)求在点M(1,-3)处曲线C的切线方程; (Ⅱ)若过点N(1,n)作曲线C的切线有三条,求实数n的取值范围. |
已知函数f(x)=lnx-ax2-2x. (Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的极大值; (Ⅱ)若函数f(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R). (Ⅰ)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)当a≤时,讨论f(x)的单调性. |
若函数f(x)=2x(x-c)2+3在x=2处有极小值,则常数c的值为( ) |
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