已知抛物线y=g(x)经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m+1,m+1),其中m>n>0,b<a,设函数f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b处取到
题型:南通模拟难度:来源:
已知抛物线y=g(x)经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m+1,m+1),其中m>n>0,b<a,设函数f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b处取到极值,则a,b,m,n的大小关系为______. |
答案
由抛物线经过点O(0,0)、A(m,0)设抛物线方程y=kx(x-m),k≠0, 又抛物线过点P(m+1,m+1),则m+1=k(m+1)(m+1-m),得k=1, 则y=g(x)=x(x-m)=x2-mx, ∴f(x)=(x-n)g(x)=x(x-m)(x-n)=x3-(m+n)x2+mnx, ∴f′(x)=3x2-2(m+n)x+mn,又函数f(x)在x=a和x=b处取到极值, 故f′(a)=0,f′(b)=0,∵m>n>0, ∴f′(m)=3m2-2(m+n)m+mn=m2-mn=m(m-n)>0, f′(n)=3n2-2(m+n)n+mn=n2-mn=n(n-m)<0, 又b<a,故b<n<a<m. |
举一反三
已知点A(1,1)和点B(-1,-3)在曲线C:y=ax3+bx2+d(a,b,d为常数上,若曲线在点A和点B处的切线互相平行,则a3+b2+d=______. |
已知函数f(x)=x2(x+3),则( )A.x=0是f(x)的极大值点 | B.x=0是f(x)的极小值点 | C.x=-是f(x)的极小值点 | D.x=-2是f(x)的极小值点 |
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已知函数f(x)=x+cosx,x∈(,),过其图象上一点的切线的斜率为k,则k的取值范围是______. |
已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常数,a∈R. (1)讨论a=1时,f(x)的单调性、极值; (2)设g(x)=x2-x+3b2-2b.当a=1时,若对任意x1∈(0,e],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求b的取值范围; (3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)设g(x)=lnx,求证:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立; (Ⅲ)已知0<a<b,求证:>. |
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