已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2+mx+72(m<0),(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=lnx,g(x)=
1
2
x
2
+mx+
7
2
(m<0),
(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及m的值;
(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g′(x)其中g′(x)是g(x)的导函数,求函数h(x)的最大值;
(Ⅲ)当0<a<b,求证:f(a+b)-f(2b)
<
a-b
2b
.
答案
(Ⅰ)依题意知,直线l是函数f(x)=lnx在(1,0)处的切线方程,故其斜率k=f"(1)=1,
所以直线l的方程为y=x-1.
又因为直线l与g(x)的图象相切,所以由
y=x-1
y=
1
2
x
2
+mx+
7
2
,得
1
2
x
2
+(m-1)x+
9
2
=0
,
得△=(m-1)
2
-9=0,解得m=-2或m=4(舍去).
(Ⅱ)因为h(x)=f(x+1)-g′(x)=ln(x+1)-x-m,(x>-1),
所以
h′(x)=
1
x+1
-1=-
x
x+1
,当-1<x<0时,h"(x)>0,此时函数单调递增,
当x>0时,h"(x)<0,此时函数单调递减,
因此,当x=0时,函数h(x)取得最大值h(0)=-m.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,取m=-1,
当-1<x<0时,h(x)<2,即ln(1+x)<x,
当0<a<b时,
-1<
a-b
2b
<0
.
因此有f(a+b)-f(2b)=ln
a+b
2b
=ln(1+
a-b
2b
)<
a-b
2b
.
所以不等式成立.
举一反三
曲线y=x
3
在点(2,8)处的切线方程为( )
A.y=6x-12
B.y=12x-16
C.y=8x-10
D.y=2x-32
题型:不详
难度:
|
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设曲线y=e
-x
(x≥0)在点M(t,e
-t
)处的切线l与x轴,y轴所围成的三角形面积为S(t),则S(t)的最大值为______.
题型:不详
难度:
|
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在曲线y=x
3
+x-2的切线中,与直线4x-y=1平行的切线方程是( )
A.4x-y=0
B.4x-y-4=0
C.2x-y-2=0
D.4x-y=0或4x-y-4=0
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=2x
3
-3x
2
-mx+n(m,n∈R),若函数在点(0,f(0))处的切线方程为y=-12x,
(1)求m,n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-a,a](a>0)上的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-4x+4
.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若x∈[0,3],求函数f(x)的最大值与最小值.
题型:不详
难度:
|
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