将函数f(x)=sin14x•sin14(x+2π)•sin12(x+3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*).(1)
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将函数f(x)=sin14x•sin14(x+2π)•sin12(x+3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*).(1)
题型:不详
难度:
来源:
将函数
f(x)=sin
1
4
x•sin
1
4
(x+2π)•sin
1
2
(x+3π)
在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a
n
}(n∈N*).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=2
n
a
n
,数列{b
n
}的前n项和为T
n
,求T
n
的表达式.
答案
(1)
f(x)=sin
1
4
x•sin
1
4
(x+2π)•sin
1
2
(x+3π)
=
sin
1
4
x
•cos
1
4
x•(-cos
1
2
x)
=
1
2
•sin
1
2
x•(-cos
1
2
x)
=
-
1
4
sinx
根据正弦函数的性质,
其极值点为
x=kπ+
π
2
(k∈Z)
,
它在(0,+∞)内的全部极值点构成以
π
2
为首项,π为公差的等差数列,
数列{a
n
}的通项公式为
a
n
=
π
2
+(n-1)•π=
2n-1
2
π(n∈N*)
.(6分)
(2)由(1)得出
b
n
=
2
n
a
n
=
π
2
(2n-1)•
2
n
(8分)
∴
T
n
=
π
2
[1•2+3•
2
2
+…+(2n-3)•
2
n-1
+(2n-1)•
2
n
]
,两边乘以2得,
2
T
n
=
π
2
[1•
2
2
+3•
2
3
+…+(2n-3)•
2
n
+(2n-1)•
2
n+1
]
两式相减,得
-
T
n
=
π
2
[1•2+2•
2
2
+2•
2
3
+…+2•
2
n
-(2n-1)•
2
n+1
]
=
π
2
[2+
8(1-
2
n-1
)
1-2
-(2n-1)•
2
n+1
]
=
π
2
[-6+(3-2n)
2
n+1
]
=-π[(2n-3)•2
n
+3]
∴T
n
=π[(2n-3)•2
n
+3](12分)
举一反三
设函数f(x)=x
2
-6x,则f(x)在x=0处的切线斜率为( )
A.0
B.-1
C.3
D.-6
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数f(x)=
1+alnx
x
,(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;
(2)在(1)条件下,若直线y=kx与函数y=f(x)的图象相切,求实数k的值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
函数y=x
3
-ax在x=1处的切线与直线x-2y=0平行,则a的值为( )
A.5
B.3
C.
5
2
D.
1
2
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知x=1是函数f(x)=(ax-2)e
x
的一个极值点.(a∈R)
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)当x
1
,x
2
∈[0,2]时,证明:f(x
1
)-f(x
2
)≤e.
题型:东城区一模
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的焦点到一条渐近线l的距离为4,若渐近线l恰好是曲线y=x
3
-3x
2
+2x在原点处的切线,则双曲线的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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