已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．
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已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值． |
答案
函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1-．
（1）当a=2时，f（x）=x-2lnx，f′(x)=1-(x＞0)，
因而f（1）=1，f′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1），
即x+y-2=0
（2）由f′(x)=1-=，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a-alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-alna，无极大值． |
举一反三
| 抛物线C1：y=x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ） |
| 若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=______． |
己知函数f（x）=x2e-x
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围． |
| 在等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，Sn为{an}的前n项和，若=2，则a=______． |
| 函数y=f（x）的图象在点P（5，f（x））处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=（ ） |
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