已知函数f(x)=x3+ax与g(x)=2x2+b的图象在x=1处有相同的切线.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若不等式f(x)≥mg(x)在[12,2]上恒成立,求
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已知函数f(x)=x3+ax与g(x)=2x2+b的图象在x=1处有相同的切线.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若不等式f(x)≥mg(x)在[12,2]上恒成立,求
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=x
3
+ax与g(x)=2x
2
+b的图象在x=1处有相同的切线.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥mg(x)在[
1
2
,2]上恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)f′(x)=3x
2
+a,g′(x)=4x,(2分)
由条件知ff(1)=g(1),ff′(1)=g′(1)
∴1+a=2+b,3+a=4
∴a=1,b=0;
(II)由(I)得f(x)=x
3
+x,g(x)=2x
2
,
不等式f(x)≥mg(x)在[
1
2
,2]上恒成立,等价于m≤
f(x)
g(x)
=
1
2
x+
1
2x
在[
1
2
,2]上恒成立,
∵
1
2
x+
1
2x
≥
1
2
•2
x•
1
x
=1,当且仅当x=1∈[
1
2
,2]时取等号
∴m≤1.
举一反三
已知M是曲线
y=lnx+
1
2
x
2
+(1-a)x
上的任一点,若曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于
π
4
的锐角,则实数a的取值范围是( )
A.[2,+∞)
B.[4,+∞)
C.(-∞,2]
D.(-∞,4]
题型:不详
难度:
|
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设曲线C
n
:f(x)=x
n+1
(n∈N
*
)在点
P(-
1
2
,f(-
1
2
))
处的切线与y轴交于点Q
n
(0,y
n
).
(Ⅰ)求数列{y
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{y
n
}的前n项和为S
n
,猜测S
n
的最大值并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ln(x+a)-x
2
-x在x=0处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程
f(x)=-
5
2
x+b
在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式
ln
n+1
n
<
n+1
n
2
都成立.
题型:泉州模拟
难度:
|
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曲线
y=
3x-2
在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.x-2y+1=0
B.3x-y-2=0
C.3x-2y-1=0
D.3x+2y-5=0
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
kx+b
x
2
+c
(c>0且c≠1,k>0)恰有一个极大值点和一个极小值点,且其中一个极值点是x=-c
(1)求函数f(x)的另一个极值点;
(2)设函数f(x)的极大值为M,极小值为m,若M-m≥1对
b∈[1,
3
2
]
恒成立,求k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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