已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f"（x）=

1-(lnx+a)

x 2

令f"（x）=0得x=e^1-a
当x∈（0，e^1-a）时，f"（x）＞0，f（x）是增函数
当x∈（e^1-a，+∞）时，f"（x）＜0，f（x）是减函数
∴f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1
（Ⅱ）（i）当e^1-a＜e²时，a＞-1时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e²]上是减函数
∴f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1
又当x=e^-a时，f（x）=0，当x∈（0，e^-a]时f（x）＜0．
当x∈（e^-a，e²]时，f（x）∈（0，e^a-1]，所以f（x）与图象g（x）=1的图象在（0，e²]上有公共点，等价于e^a-1≥1
解得a≥1，又a＞-1，所以a≥1
（ii）当e^1-a≥e²即a≤-1时，f（x）在（0，e²]上是增函数，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值为f（e²）=

2+a

e2

所以原问题等价于

2+a

e2

≥1，解得a≥e²-2．
又∵a≤-1，∴无解
综上实数a的取值范围是a≥1