(1)由题意可得,当x<1时,f′(x)=-3x2+2x+b,f′(-1)=-3-2+b=b-5. 由( b-5 )()=-1,可得b=0,故 f(x)=-x3+x2+c. 把点(-1,2)代入求得 c=0. 综上可得b=0,c=0. (2)由以上可得 ,当-1≤x<1时,f′(x)=-x(3x-2). 解f′(x)>0得0<x<.解f′(x)<0得1≥x>或x<0. ∴f(x)在(-1,0)和(,1)上单调递减,在(0,)上单调递增, 从而f(x)在x=处取得极大值为f()=. 又∵f(-1)=2,f(1)=0,∴f(x)在[-1,1)上的最大值为2. 当1≤x≤e时,f(x)=alnx,当a≤0时,f(x)≤0. 当a>0时,f(x)在[1,e]单调递增;∴f(x)在[1,e]上的最大值为a. ∴a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2. (3)设点P的横坐标为m(不妨设m>0),则由题意可得点Q的横坐标为-m,且-m<0. 当0<m<1时,点P(m,-m3+m2),点 Q(-m,m3+m2),由K0P•KOQ=-1,可得 (-m2+m)(-m2-m)=-1,m无解. 当m≥1时,点P(m,alnm),点 Q(-m,m3+m2),由K0P•KOQ=-1,可得 •(-m2-m)=-1,即 alnm=.由于a为正实数,故存在大于1的实数m,满足方程 alnm=. 故曲线y=f(x)上存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上. |