设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在

题型：不详难度：来源：

设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)=

1

6

x3-

1

2

mx2+x在（-1，2）上是“凸函数”．则f（x）在（-1，2）上（　　）

A．既有极大值，也有极小值

B．既有极大值，也有最小值

C．有极大值，没有极小值

D．没有极大值，也没有极小值

答案

因f′(x)=

1

2

x2-mx+1，f″（x）=x-m＜0对于x∈（-1，2）恒成立．
∴m＞（x）_max=2，又当m=2时也成立，有m≥2．而m≤2，∴m=2．
于是f′(x)=

1

2

x2-2x+1，由f′（x）=0x=2-

2

或x=2+

2

（舍去），
f（x）（-1，2-

2

）上递增，在（2-

2

，2）上递减，
只有C正确．
故选C