设角A，B，C为△ABC的三个内角．（Ⅰ）若2sin2A2+sinB+C2=2，求角A的大小；（Ⅱ）设f（A）=sinA+2sinA2，求当A为何值时，f（A）

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设角A，B，C为△ABC的三个内角．（Ⅰ）若2sin2A2+sinB+C2=2，求角A的大小；（Ⅱ）设f（A）=sinA+2sinA2，求当A为何值时，f（A）

题型：不详难度：来源：
设角A，B，C为△ABC的三个内角．
（Ⅰ）若


2
sin2
A
2
+sin
B+C
2
=


2
，求角A的大小；
（Ⅱ）设f（A）=sinA+2sin
A
2
，求当A为何值时，f（A）取极大值，并求其极大值．
答案
（Ⅰ）由已知，


2
sin2
A
2
+sin
π+A
2
=


2
，
即


2
sin2
A
2
+cos
A
2
=


2
，
所以


2
（1-cos2
A
2
）+cos
A
2
=


2
，
即cos
A
2
（


2
cos
A
2
-1）=0．
在△ABC中，因为0＜A＜π，则0＜
A
2
＜
π
2
，
所以cos
A
2
≠0，从而cos
A
2
=


2
2
．
从而
A
2
=
π
4
，即A=
π
2
．
（Ⅱ）因为f′（A）=cosA+cos
A
2
=2cos2
A
2
+cos
A
2
-1=（2cos
A
2
-1）（cos
A
2
+1），
因为0＜A＜π，则cos
A
2
+1＞0．
由f′（A）＞0，得cos
A
2
＞
1
2
，
所以0＜
A
2
＜
π
3
，即0＜A＜
2π
3
．
所以当A∈（0，
2π
3
）时，f（A）为增函数；
当A∈（
2π
3
，π）时，f（A）为减函数．
故当A=
2π
3
时，f（A）取极大值，
且极大值为f（
2π
3
）=
3


3
2
．
举一反三
函数y=xex+1在点（0，1）处的切线方程为______．
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已知函数f（x）=ex-x2+ax-1．
（1）过原点的直线与曲线y=f（x）相切于点M，求切点M的横坐标；
（2）若x≥0时，不等式f（x）≥0恒成立，试确定实数a的取值范围．
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若函数f（x）=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（　　）
A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜
1
2
题型：不详难度：| 查看答案
已知曲线f（x）=x3-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R
（Ⅰ）当a=
4
3
时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围
（Ⅱ）若对任意的实数m，直线与曲线都不相切，
（ⅰ）试求a的取值范围；
（ⅱ）当x∈[-1，1]时，曲线f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于
1
4
．试证明你的结论．
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f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 ______．
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