已知函数f(x)=ax2+2ln(1﹣x)(a∈R).(1)若f(x)在x=﹣1处有极值,求a的值;(2)若f(x)在[﹣3,﹣2)上是增函数,求实数a的取值范
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已知函数f(x)=ax2+2ln(1﹣x)(a∈R).(1)若f(x)在x=﹣1处有极值,求a的值;(2)若f(x)在[﹣3,﹣2)上是增函数,求实数a的取值范
题型:模拟题
难度:
来源:
已知函数f(x)=ax
2
+2ln(1﹣x)(a∈R).
(1)若f(x)在x=﹣1处有极值,求a的值;
(2)若f(x)在[﹣3,﹣2)上是增函数,求实数a的取值范围;
(3)是否存在正实数a,使得f(x)的导函数f′(x)满足
,
若存在,求出a的值,若不存在说明理由.
答案
解:(1)∵f(x)=ax
2
+2ln(1﹣x),
∴1﹣x>0,即x<1,
,
∵f(x)在x=﹣1处有极值,
∴
=0,
解得a=﹣
.
(2)∵f(x)在[﹣3,﹣2)上是增函数,
∴
≥0对一切x∈[﹣3,﹣2)恒成立,
∴a≤
=
,
当x∈[﹣3,﹣2)时,﹣
<﹣6,
∴
>﹣
.
故a≤﹣
.
(3)假设存在正数a,使得
成立,
=2a﹣[2a(1﹣x)+
]≤
,
由2a(1﹣x)=
,得(1﹣x)
2
=
,
∴x=1±
,由于x=1+
>1,故应舍去,
当x=1﹣
时,
,
令2a﹣2
=1﹣2
,解得a=
,或a=
.
举一反三
已知函数
.
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1,x=
处取得极值,求a,b的值;
(Ⅱ)若f"(1)=2,函数f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.
题型:期末题
难度:
|
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已知P:对任意a∈[1,2],不等式
恒成立;
Q:函数f(x)=x
3
+mx
2
+(m+6)x+1存在极大值和极小值.
求使“P且
Q”为真命题的m的取值范围.
题型:期末题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
+x﹣ln(x+a)+3b在x=0处取得极值0.
(1)求实数a,b的值;
(II)若关于x的方程
+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;
(III)证明:对任意的正整数n>l,不等式
都成立.
题型:期末题
难度:
|
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已知函数f(x)=ax+bsinx,当
时,f(x)取得极小值
.
(1)求a,b的值;
(2)设直线l:y=g(x),曲线S:y=f(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
②对任意x∈R都有g(x)≥f(x).则称直线l为曲线S的“上夹线”.试证明:直线l:y=x+2为曲线S:y=ax+bsinx“上夹线”.
题型:同步题
难度:
|
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设x
1
,x
2
分别是函数f(x)=﹣2x
3
+3(1﹣2a)x
2
+12ax﹣1的极小值点和极大值点.已知
=x
2
,求a的值及函数的极值.
题型:月考题
难度:
|
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