设x1,x2是函数的两个极值点,且|x1﹣x2|=2.(Ⅰ)证明:0<a≤1;(Ⅱ)证明:.
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设x1,x2是函数的两个极值点,且|x1﹣x2|=2.(Ⅰ)证明:0<a≤1;(Ⅱ)证明:.
题型:甘肃省月考题
难度:
来源:
设x
1
,x
2
是函数
的两个极值点,且|x
1
﹣x
2
|=2.
(Ⅰ)证明:0<a≤1;
(Ⅱ)证明:
.
答案
解:(Ⅰ)对f(x)求导可得f"(x)=ax
2
+bx﹣a
2
(a>0).
因为x
1
,x
2
是f(x)的两个极值点,
所以x
1
,x
2
是方程f"(x)=0的两个实根.
于是
,
故
,
即b
2
=4a
2
﹣4a
3
.
由b
2
≥0得4a
2
﹣4a
3
≥0,解得a≤1.a>0,
所以0<a≤1得证.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b
2
=4a
2
﹣4a
3
,
设g(a)=4a
2
﹣4a
3
,
则g"(a)=8a﹣12a
2
=4a(2﹣3a).
由g"(a)>0
;g"(a)<0
.
故g(a)在
时取得最大值
,
即
,
所以
.
举一反三
设函数
x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值;
(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
,若对任意的x∈[x
1
,x
2
],f(x)>f(1)恒成立,求m的取值范围.
题型:广东省月考题
难度:
|
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设函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a、b、c、d∈R)满足:
x∈R都有f(x)+f(﹣x)=0,且x=1时,f(x)取极小值
.
(1)f(x)的解析式;
(2)当x∈[﹣1,1]时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直:
(3)设F(x)=|xf(x)|,证明:
时,
.
题型:广西自治区月考题
难度:
|
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已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x
2
﹣10x的一个极值点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ )若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
题型:广西自治区月考题
难度:
|
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已知函数
,其中n∈N*,a为常数.
(Ⅰ)当n=1时,函数f(x)在x=3取得极值,求a值;
(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x﹣1.
题型:广西自治区月考题
难度:
|
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若函数f(x)=
在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数.
(1)试求实数a的取值范围.
(2)若a=2,求f(x)=c有三个不同实根时,c的取值范围.
(说明:第二问能用f(x)表达即可,不必算出最结果.)
题型:河北省月考题
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