设x1，x2是函数的两个极值点，且|x1﹣x2|=2．（Ⅰ）证明：0＜a≤1；（Ⅱ）证明：．

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设x₁，x₂是函数

的两个极值点，且|x₁﹣x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：

．

答案

解：（Ⅰ）对f（x）求导可得f"（x）=ax²+bx﹣a²（a＞0）．
因为x₁，x₂是f（x）的两个极值点，
所以x₁，x₂是方程f"（x）=0的两个实根．
于是

，
故

，
即b²=4a²﹣4a³．
由b²≥0得4a²﹣4a³≥0，解得a≤1．a＞0，
所以0＜a≤1得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b²=4a²﹣4a³，
设g（a）=4a²﹣4a³，
则g"（a）=8a﹣12a²=4a（2﹣3a）．
由g"（a）＞0

；g"（a）＜0

．
故g（a）在

时取得最大值

，
即

，
所以

．

举一反三

设函数

x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

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设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：

x∈R都有f（x）+f（﹣x）=0，且x=1时，f（x）取极小值

．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：
（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：

时，

．

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已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²﹣10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

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已知函数

，其中n∈N*，a为常数．
（Ⅰ）当n=1时，函数f（x）在x=3取得极值，求a值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1．

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若函数f（x）=

在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．
（1）试求实数a的取值范围．
（2）若a=2，求f（x）=c有三个不同实根时，c的取值范围．
（说明：第二问能用f（x）表达即可，不必算出最结果．）

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