设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x)。(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1
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设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x)。(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)当a=1时,设P(x1,f(x1
题型:福建省模拟题
难度:
来源:
设函数f(x)=e
x
+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x)。
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)当a=1时,设P(x
1
,f(x
1
)),Q(x
2
,g(x
2
))(x
1
>0,x
2
>0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离;
(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a的取值范围.
答案
解:(Ⅰ)F(x)=e
x
+sinx-ax,
,
因为x=0是F(x)的极值点,所以,
,
又当a=2时,若x<0,
;若 x>0,
,
∴x=0是F(x)的极小值点,
∴a=2符合题意。
(Ⅱ)∵a=1,且PQ∥x轴,由f(x
1
)=g(x
2
)得
,
所以,
,
令
,当x>0时恒成立,
∴x∈[0,+∞时,h(x)的最小值为h(0)=1,
∴|PQ|
min
=1。
(Ⅲ)令
,
则
,
,
因为
,当x≥0时恒成立,
所以函数S(x)在
上单调递增,
∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞)时恒成立;
因此,函数
在
上单调递增,
,
当x∈[0,+∞)时,恒成立;
当a≤2时,
,
在[0,+∞)单调递增,即
,
故a≤2时F(x)≥F(-x)恒成立,
当a>2时,
,
又∵
在
上单调递增,
∴总存在
使得在区间
上
,
导致
在
递减,
而
,
∴当
时,
这与
对
恒成立不符,
∴
不合题意,
综上,a的取值范围是
。
举一反三
设函数f(x)=x
2
e
x-1
+ax
3
+bx
2
,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点。
(1)求a和b的值;
(2)讨论f(x)的单调性。
题型:广东省模拟题
难度:
|
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已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f(x)=
x
3
-
x
2
+ax.
(1)当a=2时,求f(x)的极小值;
(2)若函数g(x)=x
3
+bx
2
-(2b+4)x+lnx(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同。求证:g(x)的极大值小于等于
.
题型:浙江省期末题
难度:
|
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设函数f(x)=
x
3
-
x
2
+(2-b)x-2有两个极值点,其中一个在区间(0,1)内,另一个在区间(1,2)内,则
的取值范围是( )。
题型:0101 月考题
难度:
|
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已知函数f(x)=(2ax-x
2
)e
ax
,其中a为常数,且a≥0。
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(
,2)内单调递减,求a的取值范围。
题型:北京期末题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
-x
2
+ax+b(a,b∈R)的一个极值点为x=1,方程ax
2
+x+b=0的两个实根为α,β(α<β),函数f(x)在区间[α,β]上是单调的,
(Ⅰ)求a的值和b的取值范围;
(Ⅱ)若x
1
,x
2
∈[α,β],证明:|f(x
1
)-f(x
2
)|≤1。
题型:广东省模拟题
难度:
|
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