已知f(x)=lnx1+x-lnx，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（　　）①f（x0）＜x0；②f（x0）=x0；③f（x0）＞x0；④

题型：不详难度：来源：

已知f(x)=

lnx

1+x

-lnx，f（x）在x=x₀处取得最大值，以下各式中正确的序号为（　　）
①f（x₀）＜x₀；②f（x₀）=x₀；③f（x₀）＞x₀；④f(x0)＜

1

2

；⑤f(x0)＞

1

2

．

A．①④

B．②④

C．②⑤

D．③⑤

答案

求导函数，可得f′(x)=-

x+1+lnx

(1+x)2

令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x₀，
∴-x₀-1=lnx₀
∴f（x₀）=(-x0-1)•

1-1-x0

1+x0

=x₀，即②正确
f(x0)-

1

2

=

-2x0lnx0-(1+x0)

2(1+x0)

∵-x₀-1=lnx₀，
∴f(x0)-

1

2

=

(1-2x0)lnx0

2(1+x0)

x=

1

2

时，f′（

1

2

）=-

3 2 +ln 1 2

9 4

＜0=f′（x₀）
∴x₀在x=

1

2

左侧
∴x₀＜

1

2

∴1-2x₀＞0
∴

(1-2x0)lnx0

2(1+x0)

＜0
∴f(x0)＜

1

2

∴④正确
综上知，②④正确
故选B．