已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2）上单调递减。（1）求a的值； （2）在区间[-2，2]上，试求函数f（x）

题型：同步题难度：来源：

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2）上单调递减。
（1）求a的值；
（2）在区间[-2，2]上，试求函数f（x）的最大值和最小值。

答案

解：（1）由f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2）上单调递减，
∴x=1时f（x）有极大值，
∴f′（1）=0，
又∵f′（x）=4x³-12x²+2ax，
∴f′（1）=4-12+2a=0a =4，
显然a=4时f′（x）=4x（x²-3x+2）=4x（x-1）（x-2），
在[0，1]上，f′（x）>0；
在[1，2）上f′（x）＜0，x=1是极大值点，符合题设，
∴a=4；
（2）令f′（x）=4x³-12x²+8x=0，得x=0，1，2，
此时f（0）=-1，f（1）=0，f（2）=-1，f（-2）=63，
∴f（x）_max=63 ，f（x）_min=-1。