设f(x)=∫10|x2-a2|dx.(1)当0≤a≤1与a>1时,分别求f(a);(2)当a≥0时,求f(a)的最小值.

设f(x)=∫10|x2-a2|dx.(1)当0≤a≤1与a>1时,分别求f(a);(2)当a≥0时,求f(a)的最小值.

题型:不详难度:来源:
设f(x)=
10
|x2-a2|dx.
(1)当0≤a≤1与a>1时,分别求f(a);
(2)当a≥0时,求f(a)的最小值.
答案
(1)0≤a≤1时,
f(a)=
10
|x2-a2|dx
=
a0
(a2-x2)dx+
1a
(x2-a2)dx
=(a2x-
1
3
x3

.
a
0
+(
x3
3
-a2x)

.
1
a

=a3-
1
3
a3-0+0+
1
3
-a2-
a3
3
+a3
=
4
3
a3-a2+
1
3

当a>1时,
f(a)=
10
(a2-x2)dx
=(a2x-
1
3
x3

.
1
0

=a2-
1
3

∴f(a)=





4
3
a3-a2+
1
3
(0≤a≤1)
a2-
1
3
(a>1).

(2)当a>1时,由于a2-
1
3
在[1,+∞)上是增函数,故f(a)在[1,+∞)上的最小值是f(1)=1-
1
3
=
2
3

当a∈[0,1]时,f′(a)=4a2-2a=2a(2a-1),
由f′(a)>0知:a>
1
2
或a<0,
故在[0,
1
2
]上递减,在[
1
2
,1]上递增.
因此在[0,1]上,f(a)的最小值为f(
1
2
)=
1
4

综上可知,f(x)在[0,+∞)上的最小值为
1
4
举一反三
一个物体A以速度v=3t2+2(t的单位:秒,v的单位:米/秒)在一直线上运动,在此直线上物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方8米处以v=8t的速度与A同向运动,设n秒后两物体相遇,则n的值为(  )
A.3B.4C.5D.6
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定积分
32
(2x-
1
x2
)dx
的值是(  )
A.
175
36
B.
29
6
C.
31
6
D.
22
3
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设连续函数f(x)>0,则当a<b时,定积分
ba
f(x)dx
的符号(  )
A.一定是正的
B.一定是负的
C.当0<a<b时是正的,当a<b<0时是负的
D.以上结论都不对
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曲线y=x
3
2
与y=


x
在[0,2]上所围成的阴影图形绕X轴旋转一周所得几何体的体积为(  )
A.2πB.3πC.
7
2
π
D.
5
2
π
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由直线y=2x及曲线y=3-x2围成的封闭图形的面积为(  )
A.2


3
B.9-2


3
C.
35
3
D.
32
3
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