若y=f(x)的图象如图所示,定义F(x)=∫x0f(t)dt,x∈[0,1],则下列对F(x)的性质描述正确的有______.(1)F(x)是[0,1]上的增
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若y=f(x)的图象如图所示,定义F(x)=∫x0f(t)dt,x∈[0,1],则下列对F(x)的性质描述正确的有______.(1)F(x)是[0,1]上的增
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若y=f(x)的图象如图所示,定义F(x)=
∫
x0
f(t)dt
,x∈[0,1],则下列对F(x)的性质描述正确的有______.
(1)F(x)是[0,1]上的增函数;
(2)F′(x)=f(x);
(3)F(x)是[0,1]上的减函数;
(4)∃x
0
∈[0,1]使得F(1)=f(x
0
).
答案
由定积分的集合意义可知,F(x)表示图中阴影部分的面积,且F′(x)=f(x),
当x
0
逐渐增大时,阴影部分的面积也逐渐增大,
所以F(x)为增函数,故(1)、(2)正确;
由定积分的几何意义可知,必然)∃x
0
∈[0,1],使S
1
=S
2
,
此时S
矩形ABCO
=S
曲边三角形AOD
即F(1)=∫
0
1
f(t)dt=f(x
0
),故(4)正确.
所以对F(x)的性质描述正确的有(1)(2)(4)
故答案为:(1)(2)(4)
举一反三
计算下列定积分的值
(1)
∫
3-1
(4x-
x
2
)dx
;
(2)
∫
21
(x-1
)
5
dx
;
(3)
∫
π
2
0
(x+sinx)dx
;
(4)
∫
π
2
-
π
2
co
s
2
xdx
.
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∫
π
2
-
π
2
(x
2
sinx-cosx)dx等于( )
A.0
B.1
C.2
D.-2
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设
f(x)=
x
2
(0≤x<1)
2-x(1<x≤2)
,则
∫
20
f(x)dx
=( )
A.
5
6
B.
4
5
C.
3
4
D.不存在
题型:不详
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(1)计算
∫
60
(
x
2
+1)dx
(2)若f(x)是一次函数,且
∫
10
f(x)dx=5,
∫
10
xf(x)dx=
17
6
,求
∫
21
f(x)
x
dx的值.
题型:不详
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设f(x)=
∫
10
|x
2
-a
2
|dx.
(1)当0≤a≤1与a>1时,分别求f(a);
(2)当a≥0时,求f(a)的最小值.
题型:不详
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