在直角三角形ABC中,斜边BC为10,以BC中点为圆心,作半径为3的圆,分别交BC于P、Q两点,设L=|AP|2+|AQ|2+|PQ|2,试问L是否为定值?如果
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在直角三角形ABC中,斜边BC为10,以BC中点为圆心,作半径为3的圆,分别交BC于P、Q两点,设L=|AP|2+|AQ|2+|PQ|2,试问L是否为定值?如果是定值,求出定值,反之说明理由. |
答案
根据题意,可得|OP|=|OQ|=3. ∵O为Rt△ABC的斜边中点,∴|OA|=|BC|=5, 在△AOP中,根据余弦定理, 可得|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|•|OP|cos∠AOP…①. 同理在△AOQ中,|AQ|2=|OA|2+|OQ|2-2|OA|•|OQ|cos∠AOQ…②. ∵∠AOP+∠AOQ=180°,可得cos∠AOP+cos∠AOQ=0 ∴将①、②相加,可得|AP|2+|AQ|2=2(|OA|2+|OP|2)=2(25+9)=68 又∵|PQ|2=4|OP|2=36, ∴L=|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=68+36=104,即L为定值. |
举一反三
已知△ABC的面积S=(b2+c2-a2),其中a,b,c分别为角A,B,C所对的边, (1)求角A的大小; (2)若a=2,求bc的最大值. |
△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,C=,a=,b=1,则边c等于( ) |
海上有A,B两个小岛相距10km,从A岛望C岛和B岛所成的视角为60°,从B岛望C岛和A岛所成的视角为75°,则B岛和C岛之间的距离BC=( )km. |
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.己知csinA=acosC. (Ⅰ)求C; (Ⅱ)若c=,且sinC+sin(B-A)=3sin2A,求△ABC的面积. |
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c(1+cosA)=a•sinC (1)求角A的大小; (2)若a=2,△ABC的面积为,求△ABC的周长. |
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