△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且a2+c2-b2=85ac．（1）求cos（A+C）+sin2B的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

题型：不详难度：来源：

△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且a2+c2-b2=

8

5

ac．
（1）求cos（A+C）+sin2B的值；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

答案

（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4

5

，
∴sinB=

3

5

，cos（A+C）+sin2B=-cosB+2sinBcosB=-

4

5

+2×

3

5

×

4

5

=

4

25

．
（2）若b=2，则由题意可得 a2+c2-4=

8

5

ac，
∴

8

5

ac≥2ac-4，ac≤10，当且仅当 a=c时取等号．
故△ABC面积为

1

2

ac•sinB≤

1

2

×10×

3

5

=3，故△ABC面积的最大值为 3．