在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2A2-cos2(B+C)=72．（1）求角A大小；（2）若b+c=3，求△ABC的面积的最大值

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2

A

2

-cos2(B+C)=

7

2

．
（1）求角A大小；
（2）若b+c=3，求△ABC的面积的最大值．

答案

（1）∵A+B+C=π
∴4cos2

A

2

-cos2(B+C)=2(1+cosA)-cos2A=-2cos2A+2cosA+3=

7

2

，
∴2cos2A-2cosA+

1

2

=0．    …（4分）
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=60°．           …（6分）
（2）由基本不等式得，∵b+c=3≥2

bc

，（当且仅当b=c=

3

2

，不等式等号成立）．
∴bc≤

9

4

…（10分）
∴S△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×

3

2

×

3

2

×

3

2

=

9 3

16

，
所以△ABC的面积的最大值为

9 3

16

．  …（14分）