(本小题满分14分)如图所示,在四棱锥中,平面,,,,是的中点.(1)证明:平面;(2)若,,,求二面角的正切值.

(本小题满分14分)如图所示,在四棱锥中,平面,,,,是的中点.(1)证明:平面;(2)若,,,求二面角的正切值.

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)如图所示,在四棱锥中,平面
的中点.
(1)证明:平面
(2)若,求二面角的正切值.
答案
解:(1)证明:∵平面,∴
的中点
为△边上的高,


平面。……………………6分
(2)方法1:延长DA、CB相交于点F,连接PF、DB
过点P作PE⊥BC,垂足为E,连接HE
由(1)知平面,则PH⊥BC
又∵PE∩PH=P,∴BC⊥平面PHE,∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P-BC-D的平面角……………9分
在△FDC中,∵PH=1,AD=1,∴PD=
平面,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD,∵PC=,∴CD=4
,∴AB=2,∴BD=
∴AB是△FCD的中位线,FD=CD
∴BD⊥CF
∴HE=
∵PH=1,∴……………14分
方法2:由(1)知平面,如图建立空间直角坐标系.

∵PH=1,AD=1,∴PD=
平面,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD,∵PC=,∴CD=4

设平面BCD、平面PBC的法向量分别为
,设
,令,则
,设二面角P-BC-D为
,故
解析
本试题主要是考查了线面垂直和二面角的求解的综合运用。
(1)因平面,∴。∵的中点
为△边上的高,∴。∵
平面
(2)延长DA、CB相交于点F,连接PF、DB过点P作PE⊥BC,垂足为E,连接HE
由(1)知平面,则PH⊥BC又∵PE∩PH=P,∴BC⊥平面PHE,∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P-BC-D的平面角,然后利用解三角形得到结论。
举一反三
连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦的长度分别等于分别为的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个结论:
①弦可能相交于点;②弦可能相交于点
的最大值为5;     ④的最小值为1.
其中正确结论的个数为(   )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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已知异面直线A.与b成80的角,p为空间一定点,则过点p与A.,b所成的角都是50的直线有且仅有(     ).
A.  1条      B .2条         C.3条        D.4条
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在棱柱中满足 (  )
A.只有两个面平行B.所有面都平行
C.所有面都是平行四边形D.两对面平行,且各侧棱也相互平行

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若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则这个圆锥的体积为( )
A.B.C.D.

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在下列四个正方体中,能得出异面直线AB⊥CD的是(   ) 
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