解:(1)依题意知:. 又面面,面面,面, 所以面. …………2分 又因为. 以为原点,建立如图所示的坐标系, …………3分 则. …………4分 由于, 所以, 即. …………5分 所以,. 所以. …………6分 (2)易知为平面的法向量. …………7分 设平面的法向量为, 则即,…………8分 令 则,即. …………9分 二面角的平面角为,则.…………10分 (3)方法一:存在的中点,使得:平面,证明如下: 连接,交于,取中点,连. 在△中,分别为中点,则. …………11分 在△中,分别为中点,则. …………12分 所以平面平面. 又平面, 所以平面. …………14分 方法二:假设在四棱锥的棱上存在一点,使得平面,不妨设:, …………11分 由,得. …………12分 由(2)知平面的法向量,由得. ……13分 故存在的中点,使得平面. …………14分 |