(1)证明:∵垂直于圆所在平面,在圆所在平面上, ∴. 在正方形中,, ∵,∴平面. ∵平面, ∴平面平面. (2)解法1:∵平面,平面, ∴. ∴为圆的直径,即. 设正方形的边长为, 在△中,, 在△中,, 由,解得,. ∴. 过点作于点,作交于点,连结,
由于平面,平面, ∴. ∵, ∴平面. ∵平面, ∴. ∵,, ∴平面. ∵平面, ∴. ∴是二面角的平面角. 在△中,,,, ∵, ∴. 在△中,, ∴. 故二面角的平面角的正切值为. 解法2:∵平面,平面, ∴. ∴为圆的直径,即. 设正方形的边长为, 在△中,, 在△中,, 由,解得,. ∴.
以为坐标原点,分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,, . 设平面的法向量为, 则即 取,则是平面的一个法向量. 设平面的法向量为, 则即 取,则是平面的一个法向量. ∵, ∴. ∴. 故二面角的平面角的正切值为. |