解法一: (I)PB∥平面EAC.证明如下: 连结BD交AC于点O,连结EO,则O为BD的中点, 又∵E为PD的中点,∴EO∥PB,∴PB∥平面EAC. (II)∵CD⊥AD,且侧面PAD⊥底面ABCD, 而侧面PAD底面ABCD=AD, ∴CD⊥侧面PAD,∴CD⊥AE. ∵侧面PAD是正三角形,E为侧棱PD的中点, ∴AE⊥PD,∴AE⊥平面PCD; (III)过E作EM⊥PC于M,连结AM,由(2)及三垂线定理知AM⊥PC. ∴∠AME为二面角A-PC-D的平面角. 10分 由正三角形PAD及矩形ABCD,且AD=AB,∴PD=AD=AB=DC, ∴在等腰直角三角形DPC中,设AB=a,则AE=a,PC=a,EM=×a. 12分 在△AEM中,tan∠AME===. 即二面角A-PC-D的正切值为. 解法二:(I)同解法一
(II)设N为AD中点,Q为BC中点,则因为△PAD是正三角形,底面ABCD是矩形,所以,PN⊥AD,QN⊥AD,又因为侧面PAD⊥底面ABCD,所以,PN⊥面ABCD,QN⊥面PAD,以N为坐标原点,NA、NQ、NP所在直线分别为x,y,z轴如图建立空间直角坐标系.设AD=1,AB=a,则,,,,,. ∴,,. ∴,. ∴.又,PD,DC面PDC, ∴AE⊥平面PCD; (III)当a=1时,由(2)可知:是平面PDC的法向量, 设平面PAC的法向量为,则,, 即,取x=1,可得:y=1,z=.所以,. 向量与所成角的余弦值为:. ∴tanq=. 又由图可知,二面角A-PC-D的平面角为锐角,所以二面角A-PC-D的平面角就是向量与所成角的补角.其正切值等于. 14分 |