(1) 方法一 由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1,
又∵C1M平面A1B1C1,∴AA1⊥MC1. 又∵C1A1=C1B1,M为A1B1中点,∴C1M⊥A1B1. 又A1B1∩A1A=A1,∴C1M⊥平面AA1B1B. 方法二 由直棱柱性质得:平面AA1B1B⊥平面A1B1C1,交线为A1B1,又∵C1A1=C1B1,M为A1B1的中点, ∴C1M⊥A1B1于M. 由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B. (2) 由(1)知C1M⊥平面A1ABB1, ∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA. ∵AC1⊥A1B,MC1⊥A1B,MC1∩AC1=C1, ∴A1B⊥平面AMC1,又AM平面AMC1,∴A1B⊥AM. (3)方法一 由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形, M、N分别是A1B1、AB的中点, ∴ANB1M. ∴四边形AMB1N是平行四边形. ∴AM∥B1N. 连接MN,在矩形AA1B1B中有 A1B1AB. ∴MB1 BN,∴四边形BB1MN是平行四边形. ∴BB1 MN.又由BB1 CC1,知MN CC1. ∴四边形MNCC1是平行四边形.∴C1MCN. 又C1M∩AM=M,CN∩NB1=N, ∴平面AMC1∥平面NB1C. 方法二 由(1)知C1M⊥平面AA1B1B, A1B平面AA1B1B,∴C1M⊥A1B. 又∵A1B⊥AC1,而AC1∩C1M=C1, ∴A1B⊥平面AMC1. 同理可证,A1B⊥平面B1NC. ∴平面AMC1∥平面B1NC. (4) 方法一 由(2)知A1B⊥AM, 又由已知A1B⊥AC1,AM∩AC1=A, ∴A1B⊥平面AMC1. 又∵平面AMC1∥平面NB1C, ∴A1B⊥平面NB1C. 又B1C平面NB1C,∴A1B⊥B1C. ∴A1B与B1C所成的角为90°. 方法二 由直棱柱的性质有平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,又CA=CB=C1A1,N为AB的中点, ∴CN⊥AB. ∴CN⊥平面AA1B1B. ∴CB1在侧面AA1B1B上的射影是NB1. 又由(2)知A1B⊥AM,由(3)知B1N∥AM, ∴A1B⊥B1N,CN⊥A1B, ∴A1B⊥平面B1NC,又B1C平面B1NC,∴A1B⊥B1C. ∴A1B与B1C所成的角为90°. |