如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(
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如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. (1)求证:PB⊥DM; (2)求BD与平面ADMN所成的角. |
答案
(1)证明略(2)BD与平面ADMN所成的角为30° |
解析
(1) ∵N是PB的中点,PA=PB,
∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°,∴AD⊥AB. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD. ∵PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,∴AD⊥PB. 4分 又∵AD∩AN=A,∴PB⊥平面ADMN. ∵DM平面ADMN,∴PB⊥DM. 7分 (2) 连接DN, ∵PB⊥平面ADMN, ∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角, 10分 在Rt△BDN中, sin∠BDN===, 12分 ∴∠BDN=30°, 即BD与平面ADMN所成的角为30°. 14分 |
举一反三
如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M、N分别是A1B1、AB的中点.
(1)求证:C1M⊥平面A1ABB1; (2)求证:A1B⊥AM; (3)求证:平面AMC1∥平面NB1C; (4)求A1B与B1C所成的角. |
在底面边长为2 的正三棱锥V-ABC中,E是BC的中点,若的面积是,则侧棱VA与底面所成角的大小是__________________(结果用反三角函数值表示)。 |
正四棱锥的一个对角面的面积是一个侧面面积的倍,则侧面与底面所成二面角的大小是___________。 |
下列结论不正确的是 (填序号). ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 |
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,
求图中三角形(正四面体的截面)的面积. |
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